排列組合幾乎是每年公務(wù)員考試行測(cè)數(shù)量關(guān)系中的必考題,卻也是很多考生心中很難對(duì)付的題,一方面排列組合的題目條件復(fù)雜,有些元素限制較多;另一方面計(jì)算量看起來(lái)比較大。山東公務(wù)員考試網(wǎng)認(rèn)為,只要學(xué)會(huì)分類(lèi)分步去思考這些題目,就能很快地理清思路,再加以一定練習(xí),排列組合題目就手到擒來(lái)了。
一、分類(lèi)分步的解題原理
何為分類(lèi)分步,簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō),我要從長(zhǎng)沙去北京,完成這樣一件事情三類(lèi)方法:一是坐火車(chē)過(guò)去,有3趟不同的火車(chē);二是坐汽車(chē)過(guò)去,有2趟不同的汽車(chē);三是坐飛機(jī)過(guò)去,有4趟不同的航班,那么我從長(zhǎng)沙到北京就一共有3+2+4=9種不同的方法。三類(lèi)方法每一類(lèi)都能單獨(dú)完成從長(zhǎng)沙到北京這件事情,所以把每一類(lèi)的方法數(shù)相加,這是分類(lèi)相加的原理。如果我需要從長(zhǎng)沙先到武漢,然后到北京,假設(shè)從長(zhǎng)沙到武漢有4種方法,從武漢到北京有3種方法,那么總方法數(shù)就有4×3=12種。這是分步相乘的原理。其特點(diǎn)是每一步都不能缺少。
二、真題演練
分類(lèi)分步是相輔相成的,做題的時(shí)候一般是先考慮分類(lèi)再考慮分步。比如說(shuō)這樣一道題:
【例1】由1-9組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有多少個(gè)?
A.432 B.504 C.639 D. 720
解析:三維數(shù)可以分成個(gè)、十、百三步去完成,首先完成個(gè)位,可以放任意的數(shù)字,一共有9種方法;然后完成十位,因?yàn)椴荒芎蛡€(gè)位一樣,所以去掉個(gè)位之后還剩下8個(gè)數(shù)字,共有8種方法;最后填百位,不能和十位以及個(gè)位相同,一共有7種方法。根據(jù)分步相乘的原理,總方法數(shù)為9×8×7=504種。選擇B。
這道題相對(duì)來(lái)說(shuō)比較簡(jiǎn)單,但是再加工一下就變得比較復(fù)雜了,如下題:
【例2】由0-9十個(gè)數(shù)字組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)共有多少個(gè)?
A. 392 B.432 C.450 D.630
解析:分析一下這道題,題目要求是三位數(shù),那么0這個(gè)數(shù)字就不能放在百位上了,也就是說(shuō)百位共有9種方法,而十位可以任意的放置,共有10種方法,個(gè)位必須是偶數(shù),只有0、2、4、6、8這5種方法。但我們不能說(shuō)有9×10×5=450種方法。因?yàn)闂l件要求沒(méi)有重復(fù)數(shù)字。按照分類(lèi)分步的想法,可以分成這兩類(lèi):
①個(gè)位為0,那么此時(shí)十位有9中方法,百位有8種方法,分步相乘,共有9×8=72種。
?、趥€(gè)位不為0,那么此時(shí)個(gè)位有4種方法,百位也不能為0,且不能和個(gè)位重復(fù),共有8種方法,十位只要不和百位以及個(gè)位重復(fù)就可以,共有8種方法。分步相乘共有4×8×8=320種方法。
按照分類(lèi)相加,總方法數(shù)為72+320=392種。選A
在條件很復(fù)雜的排列組合題中我們依然可以分類(lèi)分步解題。
【例3】現(xiàn)在要從甲、乙、丙、丁四個(gè)人中選出三個(gè)人來(lái)分別操作A、B、C三臺(tái)機(jī)器,已知甲不能操作A機(jī)器,乙只能操作C機(jī)器。丙和丁倆人都能熟練操作這3臺(tái)機(jī)器。問(wèn)一共有多少種安排方法。
A.5 B.6 C.7 D.8
解析:根據(jù)例題2的分類(lèi)思路,這道題我們可以這樣去思考:C機(jī)器是一定要有人來(lái)操作的,如果我選了乙,他就只能去操作C機(jī)器,如果我沒(méi)選乙,C機(jī)器就安排別人來(lái)操作。所以可以分為一下兩類(lèi):
?、偃酥杏幸?,此時(shí)剩余兩人不確定,但是因?yàn)闄C(jī)器是一定要有人來(lái)操作的,從機(jī)器的角度去思考,首先乙機(jī)器由乙來(lái)操作,只有1種方法;然后A機(jī)器不能由甲來(lái)操作,所以從丙和丁中選1人來(lái)操作A機(jī)器,有兩種方法,剩余的B機(jī)器從剩余的兩人中任意選一個(gè)就可以了,也有兩種方法。按照分步相乘,方法數(shù)為2×2=4種。
?、谌酥袥](méi)有乙,那就是選了甲丙丁三個(gè)人,此時(shí)A不能由甲操作,只能從丙丁中選一個(gè)人,有2種方法,B機(jī)器隨意,從剩下兩人中選一人,有2種方法,最后的一人去操作C機(jī)器。分步相乘共有2×2=4種方法。
再根據(jù)分類(lèi)相加,總方法數(shù)為4+4=8種。選D。
山東公務(wù)員考試網(wǎng)認(rèn)為,從這三個(gè)例題的思考方向來(lái)看,先分類(lèi)再分步是主要思路。分類(lèi)往往根據(jù)有限制的元素來(lái)進(jìn)行,考生在練習(xí)題時(shí)用這樣的思路去思考,相信能夠很快掌握。
更多解題思路和解題技巧,可參看2016年公務(wù)員考試技巧手冊(cè)。